2012年全国统一考试理综试题（新课标卷）第24题赏析
题目拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图1）.设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ.（1）若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小.（2）设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ.已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动.求这一临界角的正切tanθ0.
试题解析为研究问题方便，作出整个装置的正视图，建立直角坐标系，画出拖把头的受力示意图，如图2所示.
（1）设该同学沿拖杆方向用大小为f的力推拖把.将推拖把的力f沿竖直和水平方向分解，按平衡条件有
fcosθ+mg=n（1）
fsinθ=f（2）
式中n和f分别为地板对拖把本文由论文联盟http://收集整理的正压力和摩擦力.按摩擦定律有
f=μn（3）
联立（1）、（2）、（3）式得
f=μmgsinθ-μcosθ（4）
（2）若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应有
fsinθ≤λn（5）
联立（1）、（5）式得
fsinθ≤λ（fcosθ+mg）（6）
将f提取后变形得到
sinθ-λcosθ≤λmgf（7）
现考察使上式成立的θ角的取值范围.注意到上式右边总是大于零，且当f无限大时极限为零，有
sinθ-λcosθ≤0（8）
使上式成立的θ角满足θ≤θ0，这里θ0是题中所定义的临界角，即当θ≤θ0时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把，临界角的正切为tanθ0=λ.
试题浅析此题与生活结合紧密，模型结构比较常见.其中第一个问题是在学习正交分解法时教师进行详细讲解的一个事例，由于训练得比较多，学生的得分率也较高.而第二个问题具有很大的区分度，学生很容易写出（6）式，但接下来对f处理时遇到困难，此问题对数学分析能力提出了较高的要求，学生普遍反应不知道怎么下手，无法将“不管沿拖杆方向的力多大”转化为数学语言、更不会想到利用极值来求解.
困难的形成原因
1.数学分析能力与计算能力的欠缺：平常在处理这个问题时，一般都是围绕着推力f、角度θ、动摩擦因数μ进行定值计算，学生对解题步骤、运算的方向性成熟于胸.而此题变成了一个临界值的求解时，学生无法跳出原先的解题模式，造成了对新问题求解的障碍.
2.旧模型出现新问题后的束手无策反应了生活经验与知识贮备的不足：其实第二问题是“自锁”现象，是一个老模型，新授课时因为难度过大，教师都采取回避的态度，复习课时又由于该知识点过旧，教师又容易将其删除省略，从而造成了知识上的盲点.
此题实际上也可以利用摩擦角的知识来进行求解.
如图3所示：拖把刚好从静止开始运动时，水平推力恰好等于最大静摩擦力，
fmax=fx=λn，
令最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则λ=μ，
tanα=fn=μ=λ，
此α即为摩擦角.
若不考虑物体的质量有n=fcosα，
当f恰好沿着摩擦角边缘时
fsinα=μfcosα，
此时物体恰好处于临界状态.
计入物体的质量
n=fcosα+mg，
fsina<μ（fcosα+mg），
无法推动，物体处于静止状态.假设杆与竖直方向的夹
角为θ，则当θ≤α时，无论f多大值，始终有
fsina<μ（fcosα+mg）（1）
物体将保持静止状态，也称为“自锁”现象.
而当θ>α，有
fsinθ-μfcosθ>0，
当f增大到某值时总能得到
fsinθ-μfcosθ>μmg，
即fsinθ>μ（fcosθ+mg）（2）
此时物体将无法处于平衡状态.
综合（1）、（2）两式，若要满足不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动.则要求θ≤α，所以临界角θ0=α，即tanθ0=λ.
试题的意义
1.此题来源于现实生活，经常参与拖地劳动、并喜欢对物理现象进行思考的学生，在求解此题时会得到生活的启发，经验告诉学生，当杆与竖直方向的夹角较大时，很容易将拖把推动；而杆与竖直方向的夹角小到一定程度时，会无法推动拖把，这里一定存在着一个临界角度，顺着这个思路往下走，学生会很容易找到这个问题的突破口，最后得到答案.因此试题对畅导学生热爱劳动、将物理与生活相联系起到很好的指向性作用.
2.此题可以看成摩擦角的应用问题，虽然关于摩擦角研究的文章最近也有不少，但是试题在最近几年的高考题中这是首次出现，应引起我们的注意，平常复习时应进行适当的补充，将摩擦角的几种应用介绍给学生，做到有备无患.
