而费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小。即在abc内求一点p,使 pa+pb+pc之值为最小,人们称这个点为“费马点”。
今天我们来探索费马点。首先将三角形分为两种情况:
①当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，则费马点就是这个内角的顶点。
下面来验证这个结论: 对三角形内任意一点p,延长ba至c’使得ac=ac’，做∠c’ap’=∠cap，并且使得ap’=ap, pc’=pc，即把三角形apc以a为中心做旋转变换(如图)。

则△apc≌△ap’c’（旋转的不变性）
∵∠bac≥120°（已知）    
∴∠pap’=180°-∠bap-∠c’ap’（平角的意义）=180°-∠bap-∠cap（等量代换）=180°-∠bac≤60°
∴等腰三角形pap’中（已知ap’=ap），ap≥pp’（∠pap’＜∠ap p’）
∴pa+pb+pc≥pp’+pb+ p’c’>bc’（两边之和大于第三边）=ab+ac（已知ac=ac’）
所以a是费马点。即之前的结论。
下面探讨第二种情况：
②如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。
做△abc内一点p，使得∠apc=∠bpc=∠cpa=120°，分别作pa,pb,pc的垂线，交于d,e,f三点（如图），再作一点p’，不与点p重合，连结p’a,p’b,p’c，过p’作p’h垂直ef于h。
 
∵∠apb=120°，∴∠pab+∠pba＝180°－120°=60°
且∠paf=∠pbf=90°，∴∠f=180°－（90°+90°－60°）
同理可得：∠d=∠e=∠f=60°，即△def为等边三角形，设边长为d，面积为s。
则s= 1/2 d (pa+pb+pc)
∵p’h ≤ p’a
∴ 1/2×d×p’h×2s ≤1/2 ×d ×p’a×2s
又∵1/2×d×p’h=△ep’f  ∴ 2s△ep’f≤ d ×p’a×s
同理有：2s△dp’f≤d ×p’b×s ， 2s△ep’d≤d ×p’c×s
相加，得：2s(△ep’f+△dp’f+△ep’d)≤ d ×s (p’a+p’b+p’c)
又∵△ep’f+△dp’f+△ep’d=△edf
2s×s ≤ d ×s (p’a+p’b+p’c) 两边同除以s，得：2s ≤ d  (p’a+p’b+p’c)
把s= 1/2 ×d (pa+pb+pc)代入上式可得：
pa+pb+pc≤p’a+p’b+p’c，当且仅当p,p’重合时取到等号。
所以p是费马点，即与上述结论相符合。
经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法：
当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。
初二㈢班   林贤昊
费马（pierre de fermat,1601—1665）是法国数学家、物 理学 家。费马一生从未受过专门的数学 教育 ，数学研究也不过是业余之爱好。然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌。他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及独承17世纪数论天地的人。一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家。尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年。