一型曲线积分一型曲面积分和stieltjes积分①

1 stieltjes积分
　　设函数定义在上,。
　　分割:,作积分和数:
　　=。令,当极限存在时,称此极限为函数在上的stieltjes积分,记作:(s)。
　　当是轴()时,stieltjes积分就是riemann积分,即r积分是s积分的特例。
　　stieltjes积分的一个实例:求以,为准线,平行于z轴的直线为母线,顶曲线为的柱面面积。面积
　　()。由于弧长,故有。
　　1.1 stieltjes积分存在的条件
　　当,为有界变差,则:存在。
　　1.2 stieltjes积分化为riemann积分的公式
　　当,处处可导,且可积,则有:
　　＝。
　　
　　2 一型曲线积分:
　　若:,≤≤,。
　　则有:。
　　记,,
　　则:。
　　于是:
　　。
　　而:,正是stieltjes积分化为论文联盟http://riemann积分的公式。可见:一型曲线积分是stieltjes积分,并且它的计算公式正是stieltjes积分化为riemann积分的公式。
　　
　　3 一型曲面积分:
　　若:,。
　　则:,
　　。
　　令是曲面元在面上的投影,
　　记,
　　则—曲面微元。
　　于是:,显然是的函数。即:
　　。
　　这是在曲面(三维空间的二维流形)上的stieltjes积分化为riemann积分的公式。
　　一般地,记:,对一型曲面积分有:,是,的函数,记:。
　　则:。
　　即:
　　
　　。
　　这是曲面上stieltjes积分化为riemann积分的公式,即一型曲面积分是stieltjes积分。最后可以指出:二重积分和三重积分也都是和上的stieltjes积分。