谈曲线积分与曲面积分的运算

在数学分析中,我们学过曲线和曲面积分的计算.但是这种计算要把方程化为参数方程后再计算.有时这种方法较困难,且不易计算.下面笔者根据自己多年的经验,提出了一些关于曲线与曲面积分的运算方法,希望能够起到抛砖引玉的效果。
　　一、曲面积分的运算
　　(一)利用轮换对称性简化第二类曲面积分运算
　　第二类曲面积分 也有类似于重积分的轮换对称性。这里的轮换是指:
　　1.被积表达式满足轮换对称性,即将补积表达式中的所有字母 按轮换次序x→y→z→x代换后,积分不变;
　　2.积分曲面及其指定侧也具有轮换对称性,这是指在各坐标面上的投影区域相同,且配给的符号也相同。
　　若 满足上述轮换对称性,
　　
　　则
　　上述轮换对称性通俗的说就是被积表达式的变量互换位置,被积式不变;且区域边界方程中的变量互换位置,区域也不变,从而互换后积分值当然也不变。
　　例1:计算其中σ是平面x=0,y=0,x+y+z=1所围的空间区域的整个边界面的外侧。
　　解:因变量按次序x→y→z→x轮换时被积表达式不变,且积分曲面在各坐标面上的投影区域相同,配给的符号也相同,故积分曲面及其指定侧亦具有轮换对称性,所以积分具有轮换对称性。
　　,其中σ=σ1+σ2+σ3+σ4
　　因σ2,σ3垂直于面xoy,故
　　又因在σ1上有z=0,
　　于是
　　
　　
　　
　　从此例观察,先用轮换对称性简化积分后,再采用其它方法来计算此类积分,可使计算量大大降低。可见,用轮换对称性来计算某些满足该条件的第二类曲面积分,是一种切实可行的计算方法。
　　(二)高斯公式法
　　定理(高斯公式):设空间区域v由分片光滑的双侧封闭曲线s围成,若函数
　　p(x,y,z),q(x,y,z),r(x,y,z)在v上连续,且有一阶连续偏导数,则:
　　(1)
　　
　　其中s取外侧。(1)式成为高斯公式。高斯公式也可以表示成:
　　(2)
　　其中(cosα,cosβ,cosγ)是s外法线的单位向量。
　　应用高斯公式时,应注意条件:①s必须是封闭曲面,若所讨论的曲面不是封闭曲面,应当适当补上某块曲面,使它成为封闭曲面;②p、q、r在v上连续且偏导数也连续,若它们及其偏导数在某点不连续,应当利用“挖去奇点”的技巧,在余下的区域内应用高斯公式。
　　例2:计算曲面积分 ,其中σ是曲面z=1-x2-y2(z≥0)的上侧。
　　解:取σ1为xoy平面上论文联盟http://被圆x2+y2=0所围部分的下侧,记ω为由σ与σ1围成的空间闭区域,则
　　
　　由高斯公式知:
　　
　　
　　2л,
　　
　　而,
　　故。i=2л-3л=-л
　　二、曲线积分的运算
　　利用green公式求解
　　定理(green公式),设闭区域d由分段光滑的曲线l围成,函数p(x,y)及q(x,y)在d上具有一阶连续偏导数,则:
　　,其中l是d的取正向的边界曲线。
　　利用green公式可以把曲线积分转化为二重积分。
　　例3:已知平面区域d={(x,y)|0≤x≤п,0≤y≤л},l为d的正向边界。试证:
　　(1)
　　(2)
　　解:(1)根据格林公式,得:
　　
　　
　　因为d具有轮换对称性,所以:
　　,
　　故:
　　(2)由(1)知:
　　
　　
　　(利用轮换对称性)
　　=