【内容摘要】文章介绍了曲面投影方法的发展和应用，提出在首饰设计中引入保长与保角映射的思想。从几何性质和图案形式美的角度，分析了保长和保角映射的优越性，针对首饰设计常用计算机辅助设计软件的问题提出一些改进建议。
　　【关键词】曲面投影 保角映射 首饰设计 计算机辅助设计软件
　　在珠宝首饰设计中，对曲面上的几何图案做设计是一项非常有意义的工作，常见的基本创作对象如戒圈（圆柱面）、宝石颗粒（珍珠球面）、稀有金属球（球面）、项圈（圆环面），都可抽象为典型曲面，一些独特艺术首饰造型表面也多非平面。直接在曲面上设计图案并不是一件容易的事情，特别是一些复杂的图案，需要制作者具备相当丰富的经验才不会使图形走样。通常的做法是设计平面图案，利用曲面投影将平面图案映射到目标曲面上去。①
　　一、曲面投影方法的发展及应用
　　（一）曲面投影方法的发展
　　曲面投影法由来已久，最早可追溯到公元前3世纪古希腊地理学家埃拉托色尼使用等距离圆柱投影法绘制地图。按照历史时间，投影方法可分为早期的透视投影和平行投影，随后发展出的数学解析法，以及电子计算机高速发展之后利用数值计算求解投影坐标的方法。
　　透视投影15世纪由意大利艺术家乌契格得拉·弗朗契斯卡等人确定下来②，成为西方艺术造型的基本理论和方法，此应用可以在画面上精确描绘出符合视觉印象的画作，而传统的中国画则习惯使用平行投影，从形体投影的各点引45度方向的线并画出侧端面可见部分，即可完成形体的立体图，形成自己的独特风格。19世纪数学家们提出了在典型曲面与投影面之间建立点对点的函数关系的投影方法，但大多数投影函数源自透视投影和平行投影。计算机的出现，使得人们可以将复杂曲面分割为大量小的典型曲面进行投影，从而推动了数值计算方法的发展。图像显示、计算机辅助设计等领域对如何使图形投影过程中产生的形变最小，如何使投影图形匹配复杂的自由曲面进行了大量的研究。这类投影方法，如测地曲率法、调和映射法、nurbs曲面向量投影法，正在快速发展。③
　　（二）曲面投影方法的应用
　　从最初人们用于在平面上绘制立体图形的工具，到如今工业设计领域必不可少的技术手段，曲面投影技术在三维造型设计和加工领域的应用范围越来越广，如自由曲面雕刻图形的设计、产品平面草图设计、数控机床组合曲面连续加工等。④⑤曲面投影技术主要用于向使用者展示立体设计的视觉效果，平面设计图案的直接加工，大大提高了生产效率和产品美观性。
　　二、首饰设计中的曲面投影技术
　　（一）首饰设计中的曲面图案设计
　　目前，首饰制作的主要材质是珍珠、钻石、玉、珊瑚、琥珀、玛瑙、水晶、金属，尤其是金、银首饰最多，也有陶瓷、塑料和纤维等新兴材质首饰。⑥每种材料的形成和加工工艺不同，其表面往往不是平面。同时，设计师对首饰风格个性化、特异化和新颖性的追求，导致了首饰造型的复杂，许多首饰不再是对几何型、流线型的简单拼凑，出现了更多的自由曲面造型。设计师在材质表面绘制、雕刻或铸造图案时，完全凭借自己的空间想象力，设计手工制作时往往细节表现力不够。如果设计师对曲面形状的把握力不足，设计思路会受到限制。一般曲面图案设计都要借助计算机辅助设计软件的曲面投影功能实现。
　　（二）常用设计软件中曲面投影方法的弊端
　　常用的计算机辅助设计软件包括rhino、jewelcad、jewelsmith、matrix、3design等，其中jewelcad则拥有完整的导轨（rail）曲面成型技术，rhino（犀牛）、matrix则采用以nurbs为主要架构的3d模型设计，为设计师提供了强大的造型建模功能，但没有完全解决自由曲面上的图案设计问题。⑦
　　主流设计软件中提供的曲面或曲线投影功能包括曲面展开、曲面流动、曲面投影以及将曲线拉至曲面等，其原理都是数学中的曲面投影方法。假设平面上的一个点的坐标是（x，y），投影映射函数为f，计算得f（x，y）=（u，v），（u，v）就是这个点在曲面上的投影点坐标，如此将图形的每个点计算一遍，就得到整个图形的曲面投影。
　　现有的曲面投影方法，如rhino中的曲面流动是将图案的每点正投影至曲面上最近点处的切平面，使图案贴合曲面。这种投影方法只考虑和曲面形状匹配，没有考虑图案保形，当控制点处曲率较大时，投影到曲面上的雕刻文字、

装饰图案或纹理的视觉形变较大，无法满足设计者的需要。jewelcad的投影采用的是分段正投影，所分段数越多形变越小，但始终不是真正的保形映射，如图3所示，曲面弯曲程度越高，形变越明显。
　　（三）保角映射与保长映射投影
　　从数学的角度看，保持图案的视觉效果就是保持图案的某些几何性质不变。几何学中几何性质被定义为图形在一族映射下保持不变的一些特性。图案的变化与统一、对比与调和、对称与平衡、节奏与韵律、重心与比例往往是通过其组成图形的长度、角度、曲率等几何性质体现出来的。
　　不同的投影方法可以保持不同的几何性质不变，比如平行投影保持与光线垂直方向的长度不变，如图4所示ab的投影长度不变，bc投影变长，给我们的视觉效果就是垂直投影光线方向没有发生形变；透视投影保持物体视角不变，视角就是线条两端对应的眼睛的张角，如图5所示e是眼睛所在位置，角ceb即是线段cb的视角，bc与ad长度的比值刚好等于be与ae的长度比，投影ad的视角dea与角ceb大小相同，其效果是投影ad的视觉大小与平面设计的bc一致。
　　投影函数为保角或保长映射函数的投影方法称为保角或保长投影。保角映射，又称为共形映射，最早用在航海图制作上。⑧如图6所示，它将地球的经纬线投影为平面上的直线，仍然保持垂直相交，球面的三角形def映射为平面三角形abc，三个内角度数不变。保角映射可以保持图案线条间夹角不变，曲线的流转方向不变，从而使曲面构图相对平面设计的形变较小，比保长映射适用范围广泛。
　　保长映射是一种特殊的保角映射，可以保持投影图形的长度、角度、曲率等几何性质均不变，从而能在平面到曲面的转换中完整地保存形式美的要素，如形体的大小、方圆、高低、宽窄，线条的粗细、曲直、长短，使曲面图案设计达到所见即所得。但在首饰设计中，常见的球面与平面区域间不存在保长映射，而且产品造型各异，有时其表面比较复杂，很难得到其与平面区域的保长映射。
　　结语
　　从微分几何可以知道，圆柱面、球面去除一点和圆环面均与平面的某个区域间存在保角映射函数，可以方便用于rhino、jewelcad等软件，实现将平面图案保角投影到一些典型曲面的功能。现有的自由曲面上的投影技术仅考虑图形与曲面外形的匹配，没有考虑图形在曲面上变形失真，限制了设计师的图形选择。实际上，要真正实现平面到自由曲面的保形投影十分困难，应综合考虑保形特性与计算复杂性。
　　注释：
　　①李学艺，王钊，连小珉.基于曲线投影的自由曲面雕刻图形设计术[j].机械设计与制造，2009（4）.
　　②张顺心，叶桓.投影与绘画艺术[j].工程图学学报，2008（5）.
　　③李学艺，王钊，连小珉.平面图形在nurbs曲面上的映射[j].计算机工程与应用，2009.
　　④谢叻，周儒荣，阮雪榆.自由曲面自适应投影法精加工刀轨生成[j].上海交通大学学报，2000（10）.
　　⑤王征，王钰，杨国为.基于三维鞋楦面裁剪的鞋品外观样式cad实现[j].青岛大学学报工程技术版，2008（9）.
　　⑥许统蛉.浅谈珠宝设计师的创意与思维[j].宝石和宝石学杂志，2007（3）.
　　⑦周汉利，孙仲鸣.rhino结合flamingo与techgems在珠宝首饰设计中的应用[j].宝石和宝石学，2008（6）.
　　⑧胡淼，杨勋年.保测地曲率的曲面曲线设计[j].计算机辅助设计与图形学学报，2005（5）.
　　作者单位：叶瑾瑜，中国地质大学江城学院
　　杨宇，揭阳职业技术学院
　　刘颢，武汉数字工程研究所