年7月21日至2010年10月29日的人民币兑美元汇率，人民币兑欧元汇率和人民币兑日元汇率三种汇率的每日中间报价为研究对象，利用r/s分析方法对其日收益率序列进行研究，结果表明，三个汇率市场不符合有效市场假设，具有明显的分形特征，并具有不同的循环区间长度。
〔关键词〕分形理论; r/s分析; 赫斯特指数; 人民币汇率
〔中图分类号〕 f830 〔文献标识码〕 a〔文章编号〕1008-2689（2011）02-0066-05
0. 引言
有效市场假说一度是研究资本市场的基石，资本资产定价模型，无套利分析理论都是在该假说的前提下建立的。不过市场上越来越多的异常现象使得有效市场假说面临挑战。有效市场假说的一个重要假设是证券价格的变化是独立的，价格呈现随机状态，不会表现出某种规律和趋势。其收益率变化应该服从正态分布。对市场效率的研究主要集中在价格波动是否无序，市场是否均衡。
然而大量的实证研究表明，现实的资本市场并不是以线性规范对信息做出反应，其价格收益率也不是相互独立的，一般呈现出尖峰厚尾等特征，是有偏的随机游走。于是近年来，人们将分形理论、非线性系统理论和分数维理论引入资本市场有效性研究中，突破有效市场假说的限制，一种新的分形市场假说开始兴起，有效解决了有效市场假说的局限性和缺陷。
分形概念是由法国数学家曼德尔布罗特提出的。所谓分形，是指部分和整体的形相似。分形具有某种程度上的自相似性和自放射性特征。挡在不同的尺度下进行测量时，其形态、复杂程度和不规则性等特征都有相似性，这种相似性成为标度不变性。
而r/s分析法是由英国水文学家赫斯特提出的，其主要思想是分析重标度累积均值离差的标度行为[1]，是一种研究周期单分形特征的有效工具，能够判断时间序列中分形结构的存在。继赫斯特提出r/s分析方法后，针对短期相关性对测度结果的影响问题，曼徳布特和威廉斯[2]进行了改进，彼得斯[3]也利用一阶自回归的估计残差对短期依赖性问题进行改进。大量的国外学者研究表明，资本市场价格存在着分形特征。
在我国，对分形市场的研究大部分集中在股市，对汇率方面的此类研究较少。王春峰[4]等应用r/s分析法研究中国股票市场的长期记忆性，得出中国股市具有较明显的长期记忆性的结论。张晓莉[5]等对我国沪深两市指数进行周和日收益序列，采用非线性估计方法提高r/s系列分析估计h参数的精确度，结果表明两市都具有长期记忆效应。杨成义[6]等以中国股市的日收益率为研究对象，通过对r/s 双对数曲线以及v统计量的的拟合研究，结果表明中国股票市场的收益序列均不服从正态分布，并且呈现出状态的持续性和长期记忆性，具有明显的分形特征。杨桂元[7]和陈艳[8]等也得出相似结论。但是，胡章明[9]通过r/s分析对上海股票市场进行分析，得出不一样的结论，证明在不同的时间阶段，其状态持续性质不同。
在汇率市场方面，戴国强[10]等选择了1984年至1998年15种主要货币对美元每日汇率进行研究, 结果表明汇率波动具有状态持久性、关联性、周期性和非线性，并且汇率波动具有稳态特征。孙继国、伍海华[11]研究了1994年2月20日至2003 年12月31日的人民币、日元对美元的日汇率数据进行实证分析, 结果表明中日外汇市场均存在着状态的持续性、关联性和非线性, 但由于数据不足, 并未估计出统计循环长度。黄飞雪等[12]以我国人民币对美元、欧元和日元的日汇率中间价数据为研究对象，得出我国人民币外汇市场具有明显的分形特征。戎如香[13]以2005 年7 月21 日~ 2008 年3 月12 日银行间外汇市场六种货币兑人民币汇率数据为样本, 采用r/ s 分析法对其日收益率序列进行了研究，结果表明六种货币兑人民币汇率均具有非线性特征, 表现为较强的正状态持久性, 其波动存在明显的非周期循环。
由以上可知，我国在汇率方面的分形市场研究明显不足于证券市场，所以本文以2005年7月21日至2010年10月29日的人民币兑美元汇率，人民币兑欧元，人民币兑日元的中间报价为研究对象，对其进行r/s分析，以此判断我国外汇市场的特征。
汇率市场的分形研究为市场的定量分析提供了一种新的思路，也为其监管和调控提供了新的依据。因为借助于分形和非线性系统理论，一方面可以解释市场中更多的复杂现象，另一方面对市场波动产生更好的预测效果。所以，本文研究具有一定的现实
意义。
一、r/s分析和hurst指数
（一）经典r/s分析的计算步骤
r/s分析法又称重新标度极差分析法，即重标极差分析法，它最大的优势就是不必假定r/s测度时间序列的分布特征，无论分布是正态的还是非正态的，r/s分析结果的稳健性均不受影响。
r/s分析的基本算法如下：
对于一个时间序列{ xt }，其观测值为n个。
（1）将其分成a个长度为n的相邻子区间，n为n/a的整数部分，分别标记为区间ia（a=1,2……a），则区间ia中的各元素表示为nk,a（k=1,2……n）。
（2）计算ia的平均值：
（3）计算ia中均值的累计离差：
（4）计算极差：
ra=max（xk,a）－min（xk,a）（3）
（5）计算子区间的标准差：
（6）计算fa=( ra/ sa)，对所有的fa取平均值，得（r/s）n
（7）改变n 的取值，重复1-6步的操作，得到多个（r/s）n值
（8）由于对于不同的区间n，有下列等式成立：
（r/s）n=（cn）h （5）
其中c为常数，h为hurst指数，n为样本区间观测值个数。等式两边取对数得：
log（r/s）=hlog（n）+log（m） （6）
其中m为一个常数。
（9）用最小二乘法回归log（r/s）和log（n），斜率即为h值。
（二）赫斯特指数的特征
根据赫斯特指数可以得知序列的关联系数c。
c=22h-1-1（7）
由等式( 7) 根据统计学的知识可知：
（1）当0≤h<0.5时，c< 0, 时间序列是非持续性的，时间序列具有反持续性，它经常被称为均值回复的，即如果某一时刻，序列向上（下）变化，那么，下一时刻它反转向下（上）变化的可能性比较大。h越接近于0，这种突变的变化越大。
（2）当h=0.5时，c=0，时间序列为标准的随机游走，不同时间的值是不相关的，是有效市场理论所描述的情形。
（3）当0.5
0，时间序列具有持续性，它经常被称为分形时间序列，即如果某一时刻，序列向上（下）变化，那么，下一时刻它很可能继续向上（下）变化。h越接近于1，这种持续性越强。
（三）赫斯特指数的稳定性检验
由于n的取值会影响hurst指数的大小，所以引入v统计量检验指数的稳定性。
由式（8）可知，当r/s 统计量与时间长度n 的平方根同步增长时，v的散点图将是一条水平线；当r/s 统计量增长比n的平方根快时，散点图出现上升趋势，即持续性发生，此时的h值大于0.5，也反映出长期记忆性的存在；当r/s 统计量比n 的平方根增长得慢时，散点图出现下降趋势，即反持续性发生，此时h值小于0.5，不具有长期记忆性。v统计量的散点图由一个趋势变为另一个趋势的拐点就是平均周期点，该点对应的时间长度就是平均循环周期。
检验h指数的显著性，引入指数的期望值e（r/s）和v统计量的期望值，该期望值是收益率序列随机游走情况下的期望值，可用于测量序列对随机游走的偏离。一般情况下采用式9，式10进行计算：
二、实证研究
（一）数据选取
本文选取2005年7月21日至2010年10月29日人民币兑100美元，人民币兑欧元，人民币兑100日元的中间报价日数据，数据来源于国家外汇管理局网站的统计数据与报告。
设{p t}代表汇率的中间报价序列，p t表示时间t时刻的汇率的中间报价值。则日收益率r（t）可表示为：
相比较与汇率的绝对数变化，投资者更关注收益率的变化，所以本文采用日收益率序列进行r/s分析。
（二）收益率的统计特征
利用eviews对三种汇率的日收益率序列特征进行分析，统计如表1所示，由表可知，人民币兑美元汇率和人民币兑欧元汇率的日收益率分布均是左偏的，而人民币兑日元汇率的日对数收益率是右偏的，这表明三个日收益率均不是围绕均值对称分布的。此外三种日收益率的峰度均大于3，在峰值附近集中取值的频率大于正态分布，呈现尖峰状态，其中人民币兑欧元汇率的日收益率的尖峰状态比较明显。而且三种汇收益率的jb统计量明显大于临界值。所以，汇率的收益率分布远远偏离正态分布，进一步利用r/s分析来验证是否具有分形市场特征。
（三）收益率的r/s分析
以人民币兑美元汇率收益率为例，利用matlab编程计算r/s，e（r/s），v，v（e（r/s）），并以log10取对数做r/s，e（r/s），v，v（e（r/s））四
数据关于日期的对数曲线，结果如图1所示。
通过回归可知，在整个样本区间内，人民币兑美元汇率日收益率的hurst指数为0.8230，随机游走情况下的期望指数为0.5540。由图1可知，当r/s曲线经过某一个点后开始由线性趋向波动性。这样导致利用最小二乘法取得的h值误差很大。所以利用对v统计量的二次拟合，如图2所示，找到这个转折点，得出循环区间，在这个区间内对h值进行估计，会提高h值的精确度。
通过matlab求区间最小值，得出在=1.7556时取得最小值。所以人民币兑美元汇率市场的循环期间大致为57天。取n=10到n=57之间的r/s值进行回归，如图3所示，得出h值为0.5501，随机游走情况下的期望指数e（h）为0.6380。
同理可得到人民币兑欧元汇率和人民币兑日元汇率的赫斯特指数及其循环区间，具体结果如表2所示。
三、结论
通过以上的实证分析可以得出以下结论：
第一，我国人民币兑美元汇率，人民币兑欧元汇率，人民币兑日元汇率日收益率不满足有效市场假设，人民币外汇市场具有明显的分形市场特征。
第二，人民币兑日元汇率市场具有长达142天的循环区间长度，人民币兑欧元汇率市场的循环区间长度为100天，而人民币兑美元汇率市场的循环区间长度为57天。这表明人民币兑美元汇率受历史信息的影响程度较小。
第三，由循环期间长度内拟合的赫斯特指数可知，人民币兑欧元汇率市场的分形特征比较明显，人民币兑日元次之。较低的h指数表明受到噪声影响的程度较低，也是市场缺乏效率的表现。
第四，v统计量的二次模拟确定循环区间长度对赫斯特指数的精确度提高很有必要。在一个循环区间长度内对赫斯特指数进行估计，其结果可能与整个样本区间估计有很大不同，但却是比较精确的取值。
〔参考文献〕
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［11］孙继国,伍海华.基于r/s方法的中日外汇市场非线性分析[j].统计与决策,2006,(16):70-72.
［12］黄飞雪,赵岩.基于r/s分析的人民币外汇市场分形特征实证研究 [j]. 哈尔滨工业大学学报,2008,10(6):66-70.
［13］戎如香.人民币汇率非线性特征研究[j].山西财经大学学报，2008,30(10):107-111.
（责任编辑：高俊山谷风）
empirical research on the fractal characteristics of rmb exchange rate
——based on r/ s analysis method
liu zhi-wei， zhao yong-qin
（school of economics and managementuniversity of science and technology beijing，
beijing100083，china）
abstract： based on the central parity of rmb/usd, rmb/eur and rmb/jpy from july 21, 2005 to october 29, 2010, r/s analysis is applied to the study of the daily return series. the conclusion indicates that the three exchange rate
es do not follow the efficient market hypothesis，and they have clear fractal structures and different length of cycle.
key words：fractal theory; r/s analysis; hurst index; rmb exchange rate
