摘要：在数学解题教学中，教师要经常引导学生在解答完题目后进行再思考，来巩固所学知识和发展其解题能力，充分发挥数学教学中解题的价值。 
    关键词：数学教学；解题；再思考

　　在数学教学中，解答完一道题目后，并非大功告成，还要引导学生进行再思考，以求从中获得多方面的启示，巩固和扩大演练成果。正如著名数学教育家波利亚在《怎样解题》一书中这样写道：“通过回顾完成的解答，通过重新考虑与重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力。”这段话体现了解题后再思考的教学价值。解题后，教师要引导学生应再思考些什么呢？
　　一、思联系
　　解题后，回顾解题中所联系到的基础知识，有利于提高分析和归纳思维能力。
     例1：已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x-m2=0的两个不相等的实数根α、β满足+=1，求m的值。
　　解：由题设知△=(2m-3)2-4m2＞0，解得m＜。
∵ +=1，即(α+β)／αβ=1，∴ α+β=αβ，
又α+β=-(2m-3), αβ=m 2
   代入上式，得3-2m=m2，解之得m1=-3，m2=1，
∵m2=1＞，故舍去。
∴m=-3。
　　解完后，再回顾一下，发现用了根的判别式、分式的通分、根与系数的关系、一元二次方程的解法、解不等式等知识。如果把各量之间的关系和各知识点都弄透了，当碰到有关这些知识的习题时，便可避免解题的盲目性。
　　二、思多解
　　不少习题，可有多种解法，因而解完一道题后，应周密地思考是否还有别的求解途径，以求最简的解法，培养学生的发散思维能力。
　　例2：解方程：｜x-1｜+｜x-5｜=4。
　　按常规，此题一般有两种解法：一种是分x＜1、1≤x≤5、x＞5三种情况进行讨论；一种是取特殊值法。对此题而言，显然是后一种较为简便。但是此题借用绝对值定义法求解更为简便。事实上，由绝对值定义得知：1与5之间任何一点均可满足原方程，故原方程的解是：1≤x≤5。
　　三、思规律
　　解题后，回顾解题方法中有无规律可循，从特殊题目的解法引伸到一般题目的解法，有利于强化知识的应用，提高迁移能力。
　　例3：实数a、b、c满足(a+c)( a+b+c)＜0，求证：(b-c)＞4a(a+b+c)。
　　本题的已知条件与求证结论没有直接的联系，故难以直接证明。但观察所要证明的结论，可由(b-c)-4a(a＋b＋c)＞0变形得到，因此考虑运用韦达定理等知识，并构造一元二次方程或二次函数来求解。
　　证明：当a=0时,若b=c，则(a＋c)(a＋b＋c)= c(b＋c)=c·2c=2c≥0，与题设相矛盾，故a=0时，b≠c，那么结论显然成立。
　  当a≠0时，构造二次函数如下：y=ax+(b-c)x+(a+b+c)
　　于是，当x1=0时，y1=a+b+c；当x2=-1时，y2=2(a+c)
　　又由题设(a+c)(a+b+c)＜0知y1与y2异号，从而二次函数的图象必与x轴相交。于是，说明一元二次方程ax+(b-c)x+(a+b+c)=0有两相异实根，从而方程根的判别式大于零，即有(b-c)-4a(a+b+c)＞0，故(b-c)＞4a(a+b+c)。
　　这种方法是从结论出发，它与一元二次方程的△=b2-4ac和韦达定理等规律相吻合，因而想到巧妙地构造出一个一元二次方程或二次函数进行证明就迎刃而解了。解题时常常要经过观察发现所给题目的条件和结论的特点，去寻找解题规律，总结出解决该类问题的方法和技巧。
　　四、思演变
　　解题后，改变原题的结构或其它方面，往往可使一题变一串，有利于开阔眼界，拓广思路，举一反三，提高应变能力。
　　例4：m为何值时，x2+(m-3)x+m=0的两个根都是正实数？
　　这是一道运用判别式和根与系数的关系的基础题。方程有两个正实数根的条件是：(m-3)2-4m≥0和m-3＜0以及m＞0，解之便得0＜m≤1。
　　解完后，感到意犹未尽，尚有潜力可挖，于是加以引伸，作如下变化：m为何值时，方程x2+(m-3)x+m=0的两个根(1)都大于1？(2)分别在0与1、1与2之间？(3)有一根大于a，另一根小于a？(4)两根均大于a？(5)两根都在a与b之间？
　　通过这样的演变，使学生时时处在一种愉快的探索知识之中，从而充分调动学生的学习积极性和主动性，最大限度地启发学生积极思维。
　　五、思同类
　　解题后，回忆与该题同类的习题，进行对比，分析其它解法，找到解答这一类题的技巧和方法，从而达到触类旁通的目的。
　　例5：解方程5x2-6xy+2y2-4x+2y+1=0。
　　解：原方程变形为(x2-2xy+y2)+(4x2-4xy+y2-4x+2y+1)=0，即(x-y)2+(2x-y-1)2=0，
　　利用上式左端的非负性，可解得x=，y=1。

　利用非负数性质，可以简解以下习题：
　　(1)已知x2+4xy+7y2-2x-16y+13=0，求/(x+)的值。
　　(2)已知｜x-y+3｜+｜x+2y-1｜=0，求x和y的值。
　　(3)若a、b、c为△abc的三边，且a2+b2+c2=ab+bc+ca ,求证：△abc是等边三角形。
    六、思错误
    解题后，要思考解答中易混易错的地方，总结应该注意的问题，提高辨析解题错误的能力。
    例6：m为何值时，y=(m2-2m-4)x+m-5的图象在两坐标轴上的截距相等。
　　解：令x=0，得y=m-5，令y=0，得x=-(m-5)/(m2-2m-4)。
　　依题意有-(m-5)/(m2-2m-4)=m-5，
　　当m-5=0时，得m1=5；
　　当m-5≠0时，-1/(m2-2m-4)=1，即m2-2m-3=0，
　　解之得m2=-1，m3=3，经检验均可。
　　此题解答过程中最容易漏掉的情况是m-5=0，还易忘记最后的检验。为此，学生平时应养成解题后再查漏补缺的习惯，并不断总结经验教训，从而不断丰富和完善自己。
　　在数学解题教学中，教给学生解题后进行再分析、再联想、再思考，培养学生再思考的良好习惯，不仅能有效地使学生对知识、技能的深刻理解，而且对训练思维，促进知识能力的相互转化和掌握解题规律，大面积提高数学教学质量都起到了非常重要的作用。 
参考文献： 
[1]波利亚.怎样解题[m].上海：上海科技教育出版社，2002.
[2]叶立军.中学数学实用教学80法[m].广州：广东教育出版社，2004.
abstract: in mathematics problem-solving teaching, teachers should lead students to carry out re-reflection after solving problems so as to consolidate acquired knowledge and develop problem-solving ability, and bring the role of problem-solving value into full play.
key words: mathematics teaching; problem-solving; re-reflection