原文作者：曾艳姗
内容摘要：本文提出了符合实际投资限制的均值-半绝对偏差投资组合模型，以投资手数作为决策变量，综合考虑不允许卖空、交易费用和最小交易单位等实际约束。通过引入正负偏差变量将模型转化为一般的线性规划问题，从而简化了模型的计算。实证结果表明，该模型合理有效，能为投资者提供决策依据。
关键词：投资组合 均值-半绝对偏差 交易费用 最小交易单位
证券市场是具有高风险的投资市场，投资者不断地寻求能使投资收益高而又能有效控制风险的策略。美国著名经济学家markowitz（1992）在1952年提出的均值-方差方法，用收益率的方差度量投资收益的风险，这使风险首次被量化并把数量化方法引入了金融研究领域，带动了现代投资理论的发展。投资组合模型的发展也促进了各种不同风险度量方法的研究。markowitz的均值-方差模型把高于均值的超额收益部分也计为风险，并假设资产收益率呈对称分布，这与实际不相符。针对方差作为风险度量的局限性，许多学者提出了新的风险函数。markowitz（1999）和mao（1970）提出了下半方差风险函数，konno（1991）提出了绝对偏差风险函数，speranza（1993）提出了半绝对偏差风险函数。不同的风险函数逐渐应用到投资组合模型中，张鹏等（2006、2008）提出了带限制性卖空的均值-半绝对偏差投资组合模型，连仁源等（2010）讨论了带交易费用的绝对偏差投资组合模型，陈炜等（2009）建立了具有交易费用的均值-极大极小半绝对偏差投资组合模型。[论文网]
我国的证券市场是一个年轻的市场，投资者以及市场机制仍有不成熟的地方，为了降低投资风险和一些技术层面的要求，在交易过程中有一些特别的限制性规定，例如：股票交易要求最小交易额和整手交易，不允许卖空和买空操作。由于印花税是单边收取的，买入和卖出的交易费率不相等。若忽略这些实际的投资约束，则投资组合模型得到的最优决策在现实中可能不可操作，大大降低了模型的实用性。上述研究中投资组合模型的决策变量无论是采用投资比例或是投资金额都允许股票份额可以无限分割，交易费用函数是采用v型函数或是给定的一个常数费率，没有讨论买入和卖出的交易费率不相等的情况。 本文提出了符合实际投资限制的均值-半绝对偏差投资组合模型，以投资手数作为决策变量，考虑不允许卖空、交易费用和最小交易单位等实际约束。
模型的建立
假定投资者投资总金额为w，选择n个风险资产和一个无风险资产进行组合投资，风险资产的投资组合记为x=（x1，x2，……，xn），xi∈n表示第i个风险资产的投资手数。另外，假设n个风险资产的t期历史样本数据已知，令rit表示第i个风险资产在第t（t=1，2，……，t）期的历史收益率，pi为第i个风险资产每手交易的市场价格。
（一）交易成本的限制
在进行股票交易时，交易费用是不可避免的。已有实证结果表明，忽视交易费用将会导致投资组合失效。交易成本是指投资者在委托买卖证券时应支付的各项税收和费用的总和。在我国，证券投资者需要支付的交易成本主要包括了佣金、印花税、过户费（仅上海股票收取）和委托费用等，其中，佣金和印花税是以成交金额为基准来收费，而过户费是以成交股数为基准收费的。一般情况下，买入和卖出的交易费用不相等。如在我国证券市场印花税仅向卖方征收。
假设第i个风险资产的交易成本记为ci，其中按比例支付的买入和卖出的交易成本分别记为cib和cis，给定期初的投资组合x0=（x10，x20，……，xn0），第i个风险资产的交易成本为
（1）
其中，
（2）
显然有cibcis=0。这里，k1表示佣金率，k2表示印花税率，k3表示过户费率，k0表示其他固定收取的费用，如委托费。
（二）最小交易单位的限制
以投资比例或投资金额为决策变量的投资组合模型中，变量取值为实数，即允许股票份额可以无限分割，投资者可以购买1股的一部分。而实际上，各国证券市场对最小交易单位都有规定，比如，美国的最小交易单位为100股，日本为1000股。在我国股票市场上规定最小交易单位是一手（即100股），每次交易量必须是一手的整数倍，同时，又不允许卖空和买空的行为。因此，最小交易单位的约束条件为：
，xi≥0且为整数 （3）
（三）投资组合的期望收益
第i个风险资产的期望收益率表示为：，风险资产投资组合x=（x1，x2，……，xn）扣除交易费用后的期望净收益为，剩余金额投资于无风险资产（如银行存款），r0为无风险资产的收益率，投资组合的期望净收益为：
。
（四） 投资组合的半绝对偏差风险函数
由speranza提出的半绝对偏差风险函数是指投资组合的实际收益低于期望收益的绝对值， 令：
则投资组合的半绝对偏差为：
（五）模型最终形式的确定
具有投资限制的均值-半绝对偏差投资组合模型（m-smad）为：
引入参数λ把双目标模型转化为单目标模型：
当λ=0时，投资者追求收益最大化而不管风险的大小，当时，投资者极度厌恶风险，追求投资风险最小。由此，λ的大小反映出投资者对风险的厌恶程度，称λ为风险厌恶系数。
上述模型中，目标函数和约束条件都含有绝对值，是一个非光滑的优化问题，不利于使用经典算法求解。为了去掉模型中的绝对值，引入正负偏差变量，令：
显然有，di+di- =0，i =1，2，…，n和yt+yt- =0，t =1，2，…，t，模型转化为：
（4）
此时，模型（4）转化为混合整数线性规划模型，在维数较低的情况下，可使用分枝定界法、割平面法等经典算法进行有效求解，在维数较高的情况下，可通过使用lingo、matlab等优化软件来求解。
数值算例
为了分散风险，挑选不同行业流通盘的股票进行投资，选取了上海市的6种股票，分别有证券1（宝钢股份，600019）、证券2（中国石化，600028）、证券3（金地集团，600383）、证券4（潞安环能，601699）、证券5（中信证券，600030）、证券6（三一重工，600031）。并且以2009年1月到2009年12月共12个月的月收益率作为历史收益率，每手股票价格以2010年1月第一个交易日的收盘价为准，股价=收盘价。假设投资者持有10万元用于证券组合投资，并且期初的投资组合是把资金平均分配到各个风险资产中，即x 0i=6，i=1，2…6，如表1所示。设佣金率k1=0.003，印花税率k2=0.001，过户费率k3=0.1，其他费用k0=0，无风险资产的收益率r0=0.042。
模型（4）是一个线性规划问题，可通过使用lingo，matlab等软件求得。我们使用lingo求解该混合整数规划问题。风险厌恶参数取0.2，0.5，0.8，分别代表风险偏好、风险中性和风险厌恶的投资者，所对应得到的模型（4）的最优决策如表2所示。取ki=0（i=0，1，2，3），不带交易费用情形下模型（4）的最优决策如表3所示。
从表2和表3可以看出，投资组合的高收益伴随高风险，与实际情况相符。风险偏好的投资者比风险中性的投资者在风险资产的投资上更集中，而风险厌恶的投资者会把大部分财富投入到无风险资产中，回避风险。从表2和表3的对比得到，交易费用对投资决策产生影响，在模型中不考虑交易费用的情况下得到的投资收益增大，按照投资策略在实际操作中是不可达到的。
结论
本文给出了具有实际投资约束的均值-半绝对偏差投资组合模型，考虑了符合我国证券市场实际情况的卖空限制、交易费用限制和最小交易单位限制，同时，该模型不要求收益率呈正态分布，对于投资者来说， 具有很强的适用性和实用价值。通过引入正负偏差变量，把模型转化为整数线性问题，具有良好的可操作性，用lingo，matlab，mathmatics等优化软件都可以快速计算出符合个体风险偏好的最优投资策略。
参考文献：
1.markowitz h m. portfolio selection [j]. journal of finance，1952
2.markowitz h m. portfolio selection： efficient diversification of investment [m]. new york： john wiley & sons，1959
3.mao j c t. models of capital budgeting， e-v vs e-s [j]. journal of financial and quantitative analysis， 1970（5）
4.konno h， yamazaki h. mean-absolute deviation portfolio optimization model and its application to tokyo stock market [j]. management science， 1991（37）
5.speranza m g. linear programming models for portfolio optimization [j]. finance， 1993（14）
6.张鹏，张忠桢，岳超源.限制性卖空的均值-半绝对偏差投资组合模型及其旋转算法研究[j].中国管理科学，2006（14）
7.张鹏，曾永泉.均值-半绝对偏差投资组合优化研究[j].科学技术与工程，2008（7）
8.连仁源，许若宁.基于交易费用和绝对偏差的证券投资组合模型[j].邵阳学院学报（自然科学版）， 2010（7）
9.陈炜，杨玲.具有交易费用的均值-极大极小半绝对偏差投资组合模型[j].首都经济贸易大学学报，2009（6）
作者简介：
曾艳姗（1978-），女，仲恺农业工程学院计算科学学院，讲师，研究方向：金融数学、风险管理
